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| Assunto: [Matematica] 2° ano do ensino Medio - Apostila Volume 4 Dom Abr 17, 2011 11:02 pm | |
| Caderno do Aluno ensino médio 2º série Matemática[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link] SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇOPáginas 3 - 5Atividade 1Ao observar os dados da atividade, uma primeira impressão pode sugerir que a áreatotal seja a mesma, pois o paralelepípedo oblíquo poderia ser obtido pela inclinação doparalelepípedo reto. Contudo, na prática, isso não se verifica, pois a face frontal e a defundo da Figura B (quadrados), uma vez fechada a caixa, não permitem tal movimentopor fixarem o ângulo reto.Após essa discussão, pode-se destacar que os dois prismas possuem bases iguais eduas faces laterais iguais, sendo suas diferenças dadas pelas faces frontal e de fundo(losango e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o menor consumo de papelão poderecair somente sobre o cálculo da área do quadrado e do losango. Caso os alunos saibamque entre os paralelogramos de mesmo perímetro, o quadrado é o que determina a maiorárea, a solução fica possível sem a realização de cálculos.Efetuando todos os cálculos, temos a seguinte resolução:Para a área do losango, vamos interpretá-lo como um paralelogramo. A alturacorrespondente à base será: sen 60 o Como o prisma oblíquo é formado por dois losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm equatro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm:Atotal = 2 . 6 . 5,2 + 4 . 12 . 6 = 62,4 + 288, logo Atotal = 350,4 cm2.H6H 3 3 5,2 cm .GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Figura BO prisma é formado por 4 retângulos de 6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm.Atotal = 2 . 6 . 6 + 4 . 12 . 6 = 72 + 288, logo Atotal = 360 cm2.Segundo os dados do problema, o formato do paralelepípedo oblíquo representa umaeconomia de, aproximadamente, 2,7% em relação ao paralelepípedo reto.Vale ainda observar que nessa atividade não é discutida a capacidade de cada caixa.Esse tema será abordado mais à frente, quando tratarmos de volume de prismas.Atividade 2A figura a seguir ilustra a situação e as possíveis triangulações.Observamos que o cálculo do tamanho do lápis está associado ao cálculo dasdiagonais da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos o teorema de Pitágoras.Diagonal da base: d 2 16 9 25 d 5 .Diagonal do prisma: D 2 144 25 169 D 13 , portanto, o maior lápis deve ter13 cm de comprimento.O professor também pode discutir com os alunos uma solução prática para esseproblema: sobre o tampo de uma mesa, posicione a caixa, registrando, com lápis, asuperfície da base e a posição do vértice A. Faça uma translação da caixa, deslocando-aem uma medida igual à aresta da base, como mostra a figura a seguir, e, com o auxíliode uma régua, meça a distância AE.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Atividade 3a) No caso do prisma regular triangular, o lápis terá o tamanho da diagonal da facelateral. É interessante observar que esse prisma não tem diagonal.L2 16 2 12 2 , L2 400 , logo L = 20. O maior lápis terá 20 cm.b) O prisma regular hexagonal é particularmente interessante porque possui duasmedidas de diagonais, cada uma relativa às medidas das diagonais da base.Cálculo de L1 (diagonal menor):O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonalmenor da base e a aresta lateral. A diagonal menor da base equivale a duas alturas deGABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4um triângulo equilátero de lado igual ao do hexágono regular. Portanto, d = 6 3cm, uma vez que a altura de um triângulo equilátero pode ser calculada por: d . Portanto, L1 2 (6 3 ) 2 8 2 .2L1 172 L1 13,11 cm.Cálculo de L2 (diagonal maior):O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonalmaior da base e a aresta lateral. A diagonal maior da base equivale ao dobro damedida do lado do hexágono regular. Portanto, D = 12.Portanto, L2 2 12 2 8 2 , logo L2 14,42 cm.O maior lápis terá, então, aproximadamente, 14,42 cm.Atividade 4Para as questões (a) e (b):Basta considerar uma caixa de dimensões da base a e b e altura h e proceder comopropomos a seguir: d 2 a 2 b 2 .Diagonal do prisma:D2 d 2 h2D2 a2 b2 h2 D a2 b2 h2 .Diante dessa expressão, o professor pode ainda levar a turma a investigar o queaconteceria se o formato da caixa de lápis fosse um cubo.Nesse caso, teríamos:a b h d 2 a2 a2 d a 2 .D a 2 a 2 a 2 3a 2 D a 3 .GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Página 6Atividade 1Para as questões (a) e (b)A mosca, voando, percorre a diagonal do cubo. Assim, seu caminho medirá:M 3 2 3 2 3 2 M 3 3 5,20 dm .No caso da formiga, é necessário estudar algumas possibilidades. Uma delas éimaginar que ela percorre uma diagonal da face e depois uma aresta do cubo.Esquematicamente, temos:Nesse itinerário, a formiga percorre: F 3 2 3 F 7,24 dm .Contudo, planificando-se a figura, encontramos outra situação, melhor que aprimeira:Calculando-se o comprimento d teremos:GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Portanto, a formiga chegará depois da mosca. O menor caminho para ela chegar àgota de mel é passando pelo ponto médio de uma aresta.Atividade 2Observe que quando pintarmos 5 das 6 faces do cubo, 8 das 12 arestas serão comunsa pelo menos duas faces pintadas. O número de cubos menores que contêm essas arestasé 24.Páginas 8 - 9Atividade 5Como solução do problema, apresentamos abaixo uma discussão geral.Caso o professor julgue interessante, pode explorar o mesmo problema de formaalgébrica, supondo para a base triangular a medida de aresta x, para a base quadrada y, epara a base hexagonal z.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Como o perímetro das bases é o mesmo (que corresponde ao lado maior da folha depapel sulfite), podemos escrever:3x4 y 3 x y 43x 4 y 6 z x 6 z 3x z 2Portanto, as arestas da base dos três prismas são, respectivamente, x,Os três prismas têm a mesma altura h (lado menor da folha de sulfite), e sabendo queo volume do prisma, já estudado anteriormente, é igual ao produto da área da base pelaaltura, então, temos:Desse modo, tomando o valor aproximado paracomparação entre os seguintes valores de volumes:Esses dados permitem concluir que, entre os três prismas, aquele que maximiza ovolume, com uma justaposição de lados, é o prisma hexagonal regular.Atividade 6Professor, essa atividade servirá para levantar hipóteses que depois serão verificadaspelo Princípio de Cavalieri. No caso, podemos aproveitá-lo para observar os argumentosdos alunos que comprovariam que ambos os vasos possuem o mesmo volume.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASEPáginas 12 - 13Atividade 1Alternativas (a), (c), (d) e (f).Atividade 2Alternativa d.Páginas 14 - 17Atividade 3•O cilindro A tem raio da base igual aLogo,d2d 2 . h .d . 2h V A V A Ab . h . r . 2h . 2h .422de altura igual a 2h.222GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4•O cilindro B tem raio da base igual a d e altura igual a h.Logo, VB . d 2 . h .O volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca Aé maior do que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B.Atividade 4Apoiados na figura, observamos que o volume do combustível no tanque é igual àdiferença entre o volume total e o volume do cilindro de altura d (volume decombustível consumido) e que suas bases são iguais. Podemos chegar à seguinteexpressão:V = π . R2 . H – π . R2 . d.Substituindo os valores de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos:V = π . 12 . 2 – π . 12 . 0,4 , portanto V = 2 π – 0,4 π.V = 1,6 π 5,024 m3, isto é, aproximadamente 5 024 litros.Após a resolução, o professor pode continuar explorando outros fatos interessantesdo mesmo problema.Atividade 5a) V = π . R2 . H – π . R2 . d V = π . R2 (H – d)Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2 π – d π, logo, V = π . (2 – d).GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4b)c) Sim, é possível. Observando o gráfico, a taxa de variação do volume em relaçãoà medida d é constante.Tomando-se π = 3,14, essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm. Portanto, a réguapoderá ser graduada aferindo a cada 10 cm da régua o volume de 314 litros.Atividade 6O professor pode, inicialmente, deixar os alunos buscarem seus próprios meios pararesolver essa atividade. Algum tempo depois, pode auxiliá-los na interpretação doproblema, discutindo semelhanças com relação à situação da atividade anterior. Umaprimeira ideia que deve surgir é que, como lá, o volume do combustível será igual àdiferença entre o volume total e o volume consumido. O cálculo do volume total ésimples. O problema recairá sobre o cálculo do volume de álcool consumido.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Como estamos acostumados a ver os sólidos com a base na horizontal, uma ideia émudarmos a direção do tanque de horizontal para vertical (figura a seguir).Crie um debate na sala, de modo que os alunos concluam sobre a necessidade decalcular o volume do sólido destacado, que representa o volume do álcoolconsumido. Explorando a ideia relativa ao Princípio de Cavalieri, os alunos devemchegar à conclusão de que o volume do sólido é igual ao produto da área de sua basepela altura. A altura é igual ao comprimento do cilindro. O problema, portanto, estána necessidade de determinar a área da base.Essa região do círculo recebe o nome de segmento circular, que é uma regiãolimitada por uma corda e um arco do círculo.A área do segmento circular pode ser calculada pela diferença entre a área do setorcircular e a área do triângulo isósceles AOB.Vamos dividir a resolução em etapas:a) Área do setor circular:Setor circular é a porção do círculo limitada por dois raios e um arco do círculo. Paradeterminar a área do setor circular, precisamos da medida do ângulo central a elecorrespondente, que indicaremos por θ.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4O valor desse ângulo θ pode ser determinado se dividirmos o triângulo isóscelesAOB a partir da altura relativa ao vértice O. Assim, o ângulo θ também será divididoao meio e o novo triângulo será retângulo. A medida do ânguloencontrada aplicando-se o seu cosseno: cosDesse modo, devemos determinar qual é o arco cujo cosseno seja igual a 0,7.0,7 0,7 .12Consultando uma tabela trigonométrica ou por estimativa, admitindo queteremos que cospode ser considerado, então, próximo de 90º, e sua área equivalerá ado círculo. Como a área do círculo é: Acírculo .12 , a área do setor seráAsetor b) Cálculo da área do triângulo:Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o triângulo AOB é retângulo em O, e,portanto, sua área será: Atriângulo 2 0,7 , e, portanto, o valor de 45 o . O ângulo do setor circular2m 2 . Adotando 3,14 , temos que: Asetor 43,14 0,785 m 2 .41.1 1 0,5 m 2 .2 2GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4c) Área do segmento circular (A):A Asetor Atriângulo 0,785 0,5A 0,285 m 2Retomando o volume do combustível consumido (V1):V1 = A.H = 0,285 . 4Então, a resposta do problema é que foram consumidos 1 140 litros de álcool.Terminada essa atividade, o professor pode pedir que os alunos investiguem, empostos de gasolina, como é medido o estoque de combustível nos tanques.Atualmente, há processos sofisticados de medição desses volumes. Dispositivos sãoinstalados no interior dos tanques e fornecem em tempo real, em um painel, aconversão da altura do volume do combustível disponível. Nos postos mais antigos,o estoque é calculado pela combinação da “régua de medição” com uma tabelaespecífica de conversão.O professor também pode, julgando o tempo suficiente, distribuir para grupos dealunos valores diferentes de d e, agrupando-os em uma tabela, propor a construçãodo gráfico do volume armazenado no tanque em função de d − V(d) e de θ − V(θ).Nesse último, dado θ em radianos, a interseção com os eixos coordenados será em(2π, 0), quando o ângulo θ assume seu maior valor e o volume do tanque é zero, e em(0, 4π), situação que representa o tanque totalmente cheio. V1 = 1,14 m3, isto é, V1 = 1 140 litros.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Páginas 18 - 22Atividade 1Para o cálculo do volume aproximado do ar contido no pneu com as especificaçõesapresentadas, temos que encontrar o diâmetro total da roda do carro, para entãopodermos calcular o seu volume. Esse diâmetro pode ser obtido somando-se o diâmetroda roda interna com o dobro da altura do pneu.Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 48,26 cm + 2 . 11,025 cm = 70,31 cm.O raio do cilindro interior será de 24,13 cm e o do exterior 35,16 cm. O volume docilindro vazado, que corresponde ao valor aproximado do volume do ar será:V . (35,16) 2 . 24,5 . (24,13) 2 . 24,5 .Considerando π = 3,14V 50 309,81 cm 3 .Portanto, o volume de ar contido nesse pneu é de, aproximadamente, V = 50,31litros.Atividade 2Os dados do pneu permitem-nos concluir que sua largura é de 205 mm, sua altura é65% da largura, o que corresponde ao seguinte cálculo: 205 . 0,65 = 133,25 mm, isto é,13,325 cm, e o diâmetro da roda interna mede 15 polegadas que, convertidas emcentímetros, correspondem a 15 . 2,54 = 38,1 cm.Dessa forma, é possível determinar o diâmetro da roda do carro acrescentando àmedida do diâmetro interno da roda o dobro da altura do pneu:GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm.Tomando novamente o cilindro como modelo do pneu, o problema resume-se emachar a área da sua superfície lateral, que é um retângulo, de altura 20,5 cm e medida dabase igual ao comprimento da circunferência do pneu. Lembrando que a relação entre ocomprimento da circunferência e seu diâmetro é dada pela fórmula C = . D, ocomprimento da circunferência do pneu é de, aproximadamente,C pneu 3,14 . 64,75 203,32 cm .Assim, a área da superfície do pneu, na qual vai ser inserida a nova camada deborracha, será: A = 203,32 . 20,5 4 168,1 cm2, isto é, A 0,417 m2.Atividade 3A alternativa (b) está correta, uma vez que 10% de 6 m = 0,1 . 600 cm = 60 cm.Atividade 4GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Temos tg 60º Concluímos que BC = AH, ou seja, AB é vertical.No BOP temos que: BP 2No BPA temos que: PA2 = BP2 + BA2, mas BA = CH 2 2 3 PA2 CH 3 AH 2AH22 PA 14Atividade 5AlternativaPara resolver esta atividade precisamos analisar uma secção desse reservatório,perpendicular à vara graduada. Observamos, então, que, quanto maior a área da secção,menor será a variação de altura necessária para se chegar à próxima marca nessa vara,uma vez que elas devem demarcar o mesmo volume. Assim, as graduações consecutivasdevem estar mais próximas na região média da vara, que corresponde às maiores áreasdas seções, do que nas suas extremidades.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3O MOVIMENTO DE ASCENSÃO: PIRÂMIDES E CONESPáginas 24 - 28Atividade 1A partir da visualização e da manipulação das pirâmides, podemos discutir algunsfatos semelhantes aos prismas: suas faces também são polígonos, seus nomes dependemdo polígono que forma sua base e elas podem ser retas ou oblíquas, dependendo daposição entre a altura e a base.Quanto às diferenças, podemos destacar: a pirâmide é um sólido que “afunila” e asfaces laterais são triângulos, enquanto nos prismas são retângulos.Atividade 2Antes de resolver a atividade, pode-se propor aos alunos a confecção do octaedrocom bolinhas de isopor e palitos.a) As faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros de lado 20 cm. Paracalcular a altura h (apótema da pirâmide regular) de uma das faces, podemosobservar que ela é o cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa 20 cm e com ooutro cateto de 10 cm.h2 + 102 = 202h2 = 300, logo h = 10 3 cm.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4b) Cada face do octaedro é um triângulo de medida de base 20 cm e altura h =10 3 cm ; sua área será:Aface =Logo, a área da superfície do octaedro será A = 8 . 173 = 1 384 cm2.c) Observando somente uma das pirâmides que compõem o octaedro, percebemosque a sua altura h’ é um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a alturada face lateral e o outro cateto tem medida igual à metade do lado do quadrado dabase.H’ 2 + 102 = h2H’ 2 = 300 – 100 = 200H’ = 10 2 14,1 cm .A altura do octaedro é H = 2h’, logoH = 20 2 cm H 28,2 cm.1. 20 . 10 32Aface = 100 3 173 cm2.d) Observamos que a aresta do cubo é igual à altura do octaedro, ou seja, 20 2cm. Logo, a área de uma face do cubo é A f 20 2superfície total do cubo é: A = 4 800 cm2.Atividade 3Durante o debate, o professor pode registrar na lousa as hipóteses dos alunos para,depois, compará-las com o fato de o volume dessa pirâmide ser um terço do volume doprisma. A partir desse momento, o importante é encontrarmos um meio de significar o1que caracteriza o cálculo do volume dos sólidos com afunilamento, como as3fatorpirâmides e os cones. Presente em vários livros didáticos, a demonstração do cálculo doGABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4volume da pirâmide apoia-se em figuras que consideramos de difícil visualização einterpretação por parte dos alunos.Atividade 4Professor, você pode combinar a demonstração com as formas do sabão na lousa ouem cartolina para melhor aproveitamento dos alunos.Páginas 28 - 29Atividade 1a)b) Como são quatro faces de mesma área (triângulos equiláteros), temos que a áreade um triângulo equilátero éequilátero pode ser calculada por:l2 34APara o cálculo do volume, precisamos da medida da altura da pirâmide. A partir dodesenho a seguir, observamos que ela é um dos catetos de um triângulo retângulo emque a hipotenusa é a altura de uma das faces, e o outro cateto medealtura da face, pois corresponde ao apótema do triângulo equilátero.AT 8 3 2 3 cm 2 . A área de um triângulo44 2 3l2 34 l 2 8 l 2 2 cm .GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4A altura da face é encontrada aplicando-se a expressão:l 32hPor Pitágoras, escrevemos que: 6 62 3 H22 2. 32 h h 6 cm2H2 648 4 3cm .93H6 489 9Portanto: V 114 3 8AB . h . 2 3 . 2,67 cm 3 .3333Atividade 2AB = AC = BC = a, 2 3 3 3h e 3 32a 3h e h32a 3a 62GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4A pirâmide VABC é tri-retângulo e regular.Portanto, VA = VB = VC = x62 = VA2 + VB2 = 2x2 x 3 2O volume é:x2.x3 22V V 36O volume da parte do cubo interna ao copo é: V 9 2 cm 3 . 3 V 9 2 cm 3Páginas 30 - 31Atividade 5Atividade 6Aqui, professor, o aluno é levado a investigar as relações entre a geratriz, o raio dabase e o comprimento do setor circular. Todos os cálculos são obtidos com o uso deproporcionalidade.Vamos detalhar os cálculos para o setor de 120º:GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4A área do círculo original é: A = 100.π e seu comprimento é C = 20.π . Logo, a áreado setor será1do comprimento total: C setor . 20 cm .3Como o comprimento do arco representará o comprimento da base, podemos11concluir que C base C setor . 20 . Logo, se r é o raio da base, 2 r . 20 e,33portanto, r Observando a figura, vemos que a altura, o raio da base e a geratriz são lados de umtriângulo retângulo em que a geratriz é a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras,20. 2 10 teremos 10 h , do que se conclui que: h cm .33111da área total, portanto, Asetor .100 cm 2 e seu comprimento será33310cm .3222Professor, ao final da atividade, pode-se sugerir que os alunos generalizem essasituação, como apresentada a seguir. Devemos destacar, contudo, que não hánecessidade de memorização das fórmulas. A atividade merece cuidado no sentido deque os alunos construam as relações de forma visual e que as determine pelo uso daproporcionalidade.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4g h r22r 2 g 2 h 2 h 2 g 2 r 22 r g 2 h2 h g2 r2Sendo α o ângulo central do setor circular, os alunos podem identificar a expressão:2 r 360 o2 g r g360 o360 o . rgAtividade 7A base do campo de proteção é um círculo de raio R, que pode ser determinado porR, logo, R 80. 3 138,56 m . Dessa forma, a área de proteção será80tg 60 o determinada pela seguinte expressão A .R 2 3,14 . 19198,87 .A 60 284,46 m2.Páginas 31 - 32Atividade 1Inicialmente, devemos analisar os dados da atividade. O trabalho com troncos decone sugere completar o desenho, reconstruindo o cone que o gerou. Esse procedimentopermite aplicar a proporcionalidade nas semelhanças de triângulo observadas.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Os triângulos VOA e VO’B são semelhantes pelo caso AA, com razão desemelhança k Assim, os cones VAA’ e VBB’, de volumes v e V, respectivamente, sãovv 11semelhantes, com razão entre os volumes k 3 v .VVV 28OA6 1 .O´B 12 211Como V .12 2.20 960 cm 3 , temos v . 960 120 cm 3 .83Assim, o volume do tronco é 960 120 840 cm 3 .Finalmente, o volume do chuveiro é igual ao volume do cilindro de raio da base 12cm e altura 30 cm mais o volume do tronco, ou seja, .12 2 . 30 840 5 160 cm 3Adotando 3 , obtemos 5 160 . 3 = 15 480 cm3 = 15,48 litros.Logo, o número de dias de gotejamento necessários para se desperdiçar o volume de6 chuveiros é6 . 15,48 2 dias .46,44Atividade 2Alternativa b.. No caso, podemos comparar as áreas das seções e verificar que:V1 < V3 < V2.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Atividade 3Alternativa d.3b 3a 2 b 2 aV 1V . . r 2 . h31 aV . . . b 3 2a2 31. a a3 8 a 2V . .34 23b .2 b 322ag b22222g 2 3 2 g 2 10 g 1022GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4ESFERA: CONHECENDO A FORMA DO MUNDOPáginas 35 - 36Atividade 130º representa1da superfície total da esfera.12Atividade 2a) 50%b) 12,5%Atividade 3a) Dividindo-se 360º por 24, temos 15º.b) Seis horas são seis fusos, que correspondem a 90º, o que equivale asuperfície terrestre. Portanto, sua porcentagem é de 25%.Páginas 36 - 38A resposta depende da localidade. A cidade de São Paulo tem as seguintescoordenadas:23º 30’ Sul e 46º 33’ Oeste.GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4O volume da esferaPáginas 38 - 39Atividade 4a) Vcilindro . R 3 .1Vcone . R 3 .3b)1 . R 3 Vsemiesfera . R 3 .3c)Páginas 43 - 45Atividade 5a) C 2 . RTerra 2 . 6 370 12 740 km , ou seja, aproximadamente 40 000 km.b) Observando a figura e sendo a latitude igual a 60º, temos θ = 60o, logocos 60 0 Assim, o comprimento do paralelo de raio r será:C 2 . r 2 . 3 185 6 370 km .rR Terra1r2 6 3706 370 3 185 km2 rAtividade 6GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4A medida do arco PV está, em relação ao comprimento da linha do Equador, namesma razão que o ângulo central L está em relação à circunferência terrestre, querepresenta 360º, portanto:41. 2 . . r36041PV . 2 . . 6 000360PV 4 292 kmPV Atividade 7A distância PQ é igual ao arco de circunferência com ângulo central igual a θ. Parasabermos o valor do arco, precisamos da medida do raio do círculo pequeno quepassa por PQ.A partir da figura, observamos uma relação métrica entre a distância d, do paraleloao Equador, o raio R da Terra e o raio r do paralelo. Como se trata de um triânguloretângulo, temos:R2 = d2 + r2Outra relação que podemos extrair é a seguinte: como a latitude L = 41º, o ângulo emOPO’ é alterno interno a L, portanto, também mede 41º.oAplicando-se cos 41 r = 6 000 . 0,75, portanto r = 4 500 km.rr.R 6 000GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Como a medida do arco PQ é4 500 e considerando π = 3,14, temos:74. 2 . . 4 500360PQ 5 809 kmPQ 74partes do comprimento da circunferência de raio360Páginas 46 - 47Atividade 1Uma milha marítima equivale ado comprimento da circunferência máxima, o Meridiano.Portanto, 1’ =Logo, 1’ equivale a 1,852 km ou 1 852 m.11parte de um grau. Um grau equivale aparte6036011.. C, sendo C = 40 000 km.60 360Atividade 2Cilindro: A superfície lateral do cilindro é um retângulo de dimensões:Sua área lateral A será, portanto, A = 2.π.OB.AB.Como AB = OB, A = 2.π.OB2.A área da região S corresponde a1da superfície lateral do cilindro, logo,6área S . OB 23GABARITOCaderno do AlunoMatemática – 2a série – Volume 4Esfera: Na esfera, a superfície total será: A´ = 4.π.(O´E´ )2 .Como O’E’ = OB,Temos: A´ = 4.π.(OB)2 .A área da região S’ equivale a1de A’, logo,12área S´ área S ´ Logo, a razão12. 4. . OB 12 . OB 23área S1 .área S ´O professor pode ainda explorar áreas de fusos e de superfícies de cunhas, sempreprivilegiando o uso de proporcionalidade. Te ajudei? Me ajudaaa!!!! Comentaa! Ajude um Postador! |
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